© depositphotos/halfpoint
Катерина Терлецька
Математика — один із найскладніших предметів у шкільній програмі, особливо через її абстрактний характер. Британський філософ, логік і математик Бертран Рассел колись висловив своє розуміння математики в такій фразі: «Чиста математика — це предмет, де ми не знаємо, про що ми говоримо, й не знаємо, чи є істинним те, що ми говоримо». Звісно, до більшості людей розуміння математики не приходить через формули, рівняння й абстрактні символи. Більшість із нас (а тим паче школярі) потребує наочних проявів математичних закономірностей, і ще краще — можливості власноруч перевірити ці математичні закони.
І якщо у 1–4 класах математичні теми легко пояснити на звичних і зрозумілих дітям прикладах із їхнього реального життя, то в шкільному курсі математики після 5-го класу є досить багато абстрактних тем і понять, для яких дуже складно (а іноді й неможливо) знайти відповідники в повсякденному досвіді. На відміну від природничих наук, які мають більше можливостей для представлення наукових відкриттів і демонстрації відповідних фізичних об’єктів і явищ.
Із цією проблемою щодня стикаються вчителі математики. Тому вони постійно шукають способи «унаочнити» свій навчальний предмет, показати, як на перший погляд абстрактні формули та закони пов’язані з життям. Тут можна дати декілька важливих порад.
Перша. Створювати наочні математичні моделі. Вчителі намагаються демонструвати математику за допомогою наочних моделей, які є зрозумілими учням, бо стосуються їхнього життєвого досвіду.
Ці моделі можна створити на уроках за допомогою різних доступних матеріалів: твердого картону, мотузок, пляшок, металевого дроту, тканини тощо. І це не обов’язково готові набори — наочні демонстраційні моделі створювалися (і, ймовірно, досі створюються) в деяких українських школах. Вони є основою для дослідницьких робіт Малої академії наук (МАН) і джерелом натхнення для школярів. Автор цього тексту знає кілька таких київських шкіл і ще декілька локацій по Україні, де вчителі-ентузіасти використовують наочні візуалізації математичних ідей, а не лише обмежуються переказом правил, формул та параграфів підручника.
Друга порада. Починати пояснення з візуалізації, а не з абстрактних законів.
Урок математики в школі, як правило, починається з формулювання означень і теорем. Зазвичай ідеться про абстрактні поняття, які потім починають демонструвати на конкретних прикладах. За такою схемою, наприклад, вивчення поняття «діаграми Вороного» має відбуватися так: спочатку вчитель має дати математичне означення поняття, потім продемонструвати алгоритм побудови таких діаграм, а тоді показати різноманітні способи застосування їх у реальному житті. Тобто вибудувати навчання за схемою СФОРМУЛЮВАТИ → ПРОДЕМОНСТРУВАТИ, від абстрактного до конкретних випадків і прикладів. Але для вивчення абстрактних понять, які зазвичай є важкими для усвідомлення, ця схема може бути не найкращою, адже вже на першому етапі у школярів знизиться мотивація вивчати складну, не дуже зрозумілу й, на перший погляд, відірвану від життя тему.
А якщо вчинити інакше? Якщо ми почнемо заняття з візуалізації, наприклад, галявини з грибами, які смердять, і нам потрібно прокласти маршрути так, щоб найменше відчувати цей сморід? Ми вже отримаємо з прокладених шляхів навколо грибів діаграми Вороного.
Фото надане автором
Фото надане автором
Фото надане автором
Фото надане автором
Далі замінимо гриби ресторанами (з однаковими пропозиціями) та запитаємо в учнів: який сенс тепер має розбиття точок простору на області? Звісно, це області, де живуть потенційні клієнти, найближчі до певного ресторану. А якщо це гравці на полі, то ми за допомогою такого розбиття можемо визначити, яка команда контролює поле. Правда ж? А якщо ми обведемо це в овал і домалюємо трохи, то взагалі отримаємо візерунок на панцирі черепахи.
Ми бачимо, що ці чотири наочно зрозумілі приклади об’єднує абстрактне поняття «діаграми Вороного». Це і є усвідомлення, що таке абстрактність. Вона — як нитка, на яку можна нанизувати різні прикладні прояви цього поняття. Після цього математичне означення буде вже зрозумілішим і підкріпленим нашим повсякденним досвідом. Тобто схема викладання матеріалу ПРОДЕМОНСТРУВАТИ → СФОРМУЛЮВАТИ є наочнішою та зрозумілішою. До неї можна додати ще один компонент — ОТРИМАТИ ВЛАСНИЙ ДОСВІД. Так, повертаючись до теми діаграм Вороного, можна їх створити за допомогою мильних бульбашок на поверхні або в склянці. Природний процес їх утворення відповідає математичній суті діаграм Вороного.
Фото надане автором
ПРОДЕМОНСТРУВАТИ → СФОРМУЛЮВАТИ → ОТРИМАТИ ВЛАСНИЙ ДОСВІД — це схема засвоєння математичних знань, яка отримала широке розповсюдження в багатьох країнах, де завдяки аналогічним методам пояснення математичних ідей зародився новий підхід до викладання математики.
Третя порада. Виходити за межі підручників.
У Німеччині такі підходи до викладання математики стали основою для створення першого національного музею математики. 1993 року професор дискретної математики та геометрії Альбрехт Бойтельшпахер започаткував проєкт про те, як пояснювати математичні абстракції. Методика Альбрехта полягає в тому, щоб поставити себе на місце студента, визначити, що саме спричиняє труднощі, й спробувати пояснити це інакше — за допомогою прикладів, зображень і спеціальних програм. Бойтельшпахер також створив багатосерійне шоу «Доторкнутися до математики» (Mathematik zum Anfassen).
Окрім того, на одному з його семінарів виникла ідея першого у світі інтерактивного музею Mathematikum у місті Гіссен https://www.mathematikum.de/, де кожен відвідувач може доторкнутися до експонатів, провести експеримент і розв’язати головоломку. Моделі для першої виставки підготували самі студенти. Цей музей, який було урочисто відкрито 2002 року, став справжньою сенсацією й уже 2010 року прийняв свого мільйонного відвідувача. Гасло музею — «Математика для всіх!» — підкреслює його доступність для всіх вікових категорій і рівнів підготовки. Відвідувачі можуть зануритися в гігантську мильну бульбашку, гратись із симетріями, досліджувати ілюзії та парадокси. Важливою особливістю музею є те, що його інтерпретаторами виступають молоді люди без вищої математичної освіти. Це дає їм змогу спілкуватися з відвідувачами зрозумілою мовою та робити математику доступною для всіх.
Але музей, створений Альбрехтом, не був першим музеєм математики. Перша спроба такого роду відбулася в Cité des Sciences et de l’Industrie в Ла-Віллетт у Парижі. Експериментальний математичний простір було створено в Palais de la Découverte протягом 1980-х років. Horizons Mathématiques стала першою математичною виставкою й була представлена у більш як 50 країнах і 200 містах. А 2023 року в Парижі було нарешті відкрито перший музей математики. Інститут Анрі Пуанкаре в Парижі розробив музей, присвячений математиці та її застосуванню — перший свого роду у Франції. Розташований у центрі діючого дослідницького центру, Паризький музей математики підходить для всіх відвідувачів, від учнів середньої школи до науковців.
Згідно з даними з Вікіпедії, на сьогодні в усьому світі налічується більш як 50 спеціалізованих математичних просторів. До цього переліку не увійшли ще математичні зали у великих музеях науки, таких як Nemo (Амстердам, Нідерланди), Science Centre AHHAA (Тарту, Естонія), iQLANDIA (Ліберець, Чехія), Ars Electronica (Лінц, Австрія), Technoseum (Манхайм, Німеччина), Science Center Spectrum (Берлін, Німеччина), Experimenta (Хайльбронн, Німеччина), Le Vaisseau (Страсбург, Франція) і багато інших.
Багато експонатів різних музеїв математики — це наочні доведення теореми Піфагора (або інших фундаментальних теорем геометрії), захопливі головоломки, пазли з геометричних фігур і оптичні ілюзії.
Іще один аспект музеїв математики — це їх зв’язок із культурною спадщиною. Музеї зберігають і поширюють неймовірні надбання людства за останні 5000 років, зокрема єгипетські, грецькі, месопотамські, китайські, майя. Ці цивілізації розвинули математику, відому нам зараз.
Досвід багатьох країн показує, що інноваційний підхід до викладання математики може мати значний вплив на розвиток освіти загалом. Україна, з її багатою історією й талановитою молоддю, також має потенціал для створення таких ініціатив. Організація таких музеїв, інтерактивних експозицій і наукових центрів могла б не лише допомогти подолати освітні втрати, а й надихнути нове покоління українців на вивчення математики й науки загалом.
Наразі в Україні ще тільки починається робота над створенням музеїв математики, але вже зараз дізнатися цікаве про математику можна в Музеї науки (Київ) і наукових просторах, відкритих у різних містах.
А ті, хто хоче краще зрозуміти математику й навчатись із захопленням, можуть знайти цікаві україномовні матеріали на інтернет-ресурсах:
— проєкт «WOW-математика»;
— сайт для вивчення математики Mathigon;
— україномовні уроки для тих, кому цікава математика;
— сайт Міжнародного дня математики, де є активності українською мовою.
Подолання освітніх втрат є складним завданням, яке вимагає комплексного підходу та залучення всіх зацікавлених сторін. Формальна освіта, позашкільні заклади, музеї та наукові центри — всі вони мають працювати разом, аби забезпечити якісне навчання та розвиток молоді. Україна має всі шанси подолати ці виклики та створити систему освіти, яка відповідатиме потребам сучасного світу.
